Question

【題目】已知：如圖，在□ABCD中，E為邊CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)，交邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形ACFD是平行四邊形；

（2）如果∠B+∠AFB=90°，求證：四邊形ACFD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證出∠ADC=∠FCD，然后再證明△ADE≌△FCE可得AD=FC，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；

（2）根據(jù)∠B+∠AFB=90°可得∠BAF=90°，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得AB∥CD，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CEF=∠BAF=90°，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形可得結(jié)論．

證明：（1）在□ABCD中，AD∥BF．

∴∠ADC=∠FCD．

∵E為CD的中點(diǎn)，

∴DE=CE．

在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（ASA）

∴AD=FC．

又∵AD∥FC，

∴四邊形ACFD是平行四邊形．

（2）在△ABF中，

∵∠B+∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°．

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠CEF=∠BAF=90°，

∵四邊形ACDF是平行四邊形，

∴四邊形ACDF是菱形．