Question

如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點分別在直線l₁、l₃上并與l₂相交于點E，
①AE與BE的長度大小關系為

AE=BE

；
②若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點恰好分別在直線l₂、l₄上，則sinα=

5

5

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理可得AE：BE=1，從而得到AE=BE；
（2）過點B作BF⊥l₁于F，過點D作DG⊥l₁于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAD=90°，AB=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABF=∠DAG，然后利用“角角邊”證明△ABF和△DAG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=BF，再利用勾股定理列式求出AD，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵l₁∥l₂∥l₃，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，
∴AE：BE=2：2=1，
∴AE=BE；

（2）如圖，過點B作BF⊥l₁于F，過點D作DG⊥l₁于G，
∵相鄰兩條平行直線間的距離都是2，
∴BF=4，DG=2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵∠ABF+∠BAF=90°，
∠DAG+∠BAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
∵在△ABF和△DAG中，

∠ABF=∠DAG ∠AFB=∠DAG=90° AB=AD

，
∴△ABF≌△DAG（AAS），
∴AG=BF=4，
在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

42+22

=2

5

，
所以sinα=

DG

AD

=

2

2 5

=

5

5

．
故答案為：（1）AE=BE；（2）

5

5

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵．