Question

如圖，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把線段AB沿射線BC方向平移至PQ，直線PQ與直線AC交于點E，又連接BQ與直線AC交于點D．
（1）若BP=3，求AD的長；
（2）設BP=x，DE=y，試求y關于x的函數(shù)解析式；
（3）當BP為多少時，以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AQ，由平行四邊形的判定定理可得出四邊形ABPQ是平行四邊形，進而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）由平行線分線段成比例定理可知，，再根據(jù)點P在邊BC上或點P在邊BC的延長線上兩種情況討論即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可求出BP的長．
解答：解：（1）連接AQ
∵AB∥PQ  AB=PQ
∴四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ∥BP  AQ=BP
∴△ADQ∽△CDB，
∵BP=3
∴AQ=3
∵，
∴，
∴；

（2）∵AB∥PQ，AQ∥BC，
∴，
∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，
當點P在邊BC上時，
∴，解得…（1分）
，解得…（1分）
∴…（1分）
當點P在邊BC的延長線上時，
∴，解得…（1分）
，解得…（1分）
∴
綜上所述，（x＞0）…（1分）

（3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB  …（1分）
又以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，
∴△ADB與△ABC相似  …（1分）
∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC
∴∠ABD=∠ACB     …（1分）
∴即
由（2）知，
∴得x=4
所以，當BP為4時，以Q、D、E為頂點的三角形與△ABC相似．…（2分）
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及平行線分線段成比例定理，在解（2）時要注意分類討論，不要漏解．