Question

（2005•聊城）已知：平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)．求證：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件易證△OBC是等腰三角形，E是OC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形中底邊上的高與中線(xiàn)合一的性質(zhì)知BE⊥AC．
（2）利用直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半及中位線(xiàn)定理可證EG=EF．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD=2AD，
∴BO=BC．
又E是OC中點(diǎn)，
∴BE⊥AC．

（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中點(diǎn)，
∴EG是Rt△ABE斜邊上的中線(xiàn)．
∴EG=AB．
又∵EF是△OCD的中位線(xiàn)，
∴EF=CD．
又AB=CD，
∴EG=EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，范圍比較廣．