Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求四邊形CDPE面積的最大值；
（2）在（1）下所得的四邊形CDPE向右平移t個(gè)單位，若0≤t≤4，設(shè)四邊形CDPE與Rt△ABC的重合部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）設(shè)PE=x，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，PD⊥AC，PE⊥BC，
∴四邊形CDPE是矩形，
∴CD=PE=x，PD∥AC，
∴△ADP∽△PCB，
∴，
∵AC=BC=4，
∴AD=AB-CD=4-x，
∴PD=4-x，
∴S_{四邊形CDPE}=PE•PD=x（4-x）=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)pe=2時(shí)，四邊形CDPE面積的最大，最大值為4；

（2）如圖1，當(dāng)0≤t＜2時(shí)，
根據(jù)題意得：CC′=t，AD=AC-CC′-C′D=4-2-t=2-t，
∵PE∥AC，
∴△AFD∽△ABC，
∴AD：AC=DF：BC，
∴DF=2-t，
∴PF=PD-DF=t，
∴S_△PFG=t²，
∴S_重合部分=S_{四邊形C′DPE}-S_△PFG=4-t²；
如圖2，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)E在AB上時(shí)，AC′=EC′=2，
S_重合部分=S_△AC′E=2；
如圖3，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，AC′=AB-CC′=4-t，
∴C′F=AC′=4-t，
∴S_重合部分=S_△AC′E=（4-t）²．
分析：（1）首先設(shè)PE=x，易得四邊形CDPE是矩形，又由△ADP∽△PCB，易求得PD的長(zhǎng)，繼而可得S_{四邊形CDPE}=PE•PD=x（4-x）=-（x-2）²+4，則可求得答案；
（2）分別從當(dāng)0≤t＜2時(shí)，當(dāng)t=2時(shí)與當(dāng)2＜t≤4時(shí)去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．