Question

（2010•安順）如圖，拋物線y=x²+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與直線y=x+b相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)E．
（1）寫出直線BC的解析式．
（2）求△ABC的面積．
（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)（不與A，B重合），同時(shí)，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0代入y=x²+3求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+b求出BC的解析式．
（2）聯(lián)立方程組求出B．C的坐標(biāo)．求出AB，CD的長(zhǎng)后可求出三角形ABC的面積．
（3）過(guò)N點(diǎn)作NP⊥MB，證明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用線段比求出NP，BE的長(zhǎng)．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．
解答：解：（1）在y=x²+3中，令y=0
∴x²+3=0
∴x₁=2，x₂=-2
∴A（-2，0），B（2，0）（2分）
又點(diǎn)B在y=x+b上
∴，
∴BC的解析式為y=x+．（2分）

（2）由，
得，．
∴，B（2，0），（2分）
∴AB=4，，
∴．（2分）

（3）過(guò)點(diǎn)N作NP⊥MB于點(diǎn)P
∵EO⊥MB
∴NP∥EO
∴△BNP∽△BEO
∴（1分）
由直線可得：
∴在△BEO中，BO=2，EO=，則BE=
∴，
∴NP=t（1分）
∴S=.t．（4-t）=-t²+t（0＜t＜4）=-（t-2）²+（1分）
∵此拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△MNB的面積達(dá)到最大，最大為．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)圖象與應(yīng)用相結(jié)合的綜合題，以及三角形面積的計(jì)算方法，難度較大．