Question

已知：如圖，矩形ABCD，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，將A點(diǎn)折疊至MN上，落在A'點(diǎn)的位置，折痕為BE．
（1）求∠ABE的度數(shù)；
（2）連接EN、BN，若EN⊥BE，BN=，求矩形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∠BAE=∠D=90°，
∵M(jìn)、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴AM=AB，DN=CD，
∴AM=DN，
∴四邊形AMND是矩形，
∴∠BMN=90°，
由折疊的性質(zhì)得：A′B=AB=2BM，
∴∠BA′M=30°，
∴∠A′BM=60°，
∴∠ABE=∠A′BM=30°；

（2）∵∠ABE=30°，∠BAE=90°，
∴BE=2AE，∠AEB=60°，
∵EN⊥BE，
∴∠BEN=90°，
∴∠DEN=90°-∠AEB=30°，
∴EN=2DN=AB，
設(shè)AE=x，則EN=AB=x，BE=2x，
在RT△EBN中，EB²+EN²=BN²，即3x²+4x²=21，
解得：x=，
從而可得AB=3，AD=AE+ED=+=，
故矩形ABCD的周長(zhǎng)為：2（AB+AD）=2（3+）=6+5．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得出A'B=2BM，從而利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可得出答案．
（2）設(shè)AE=x，先表達(dá)出BE、EN，然后在RT△EBN中分別求出BE、AE的長(zhǎng)度，繼而得出AB、AD的長(zhǎng)度，從而可得出矩形ABCD的周長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換的知識(shí)，涉及了含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出∠BAE=30°，這是解答各問(wèn)的突破口．