【答案】
分析:(1)以PQ,MN為兩邊,以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形的必須條件是點(diǎn)P、N重合且點(diǎn)Q、M不重合,此時AP+ND=AD即2x+x
2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者點(diǎn)Q、M重合且點(diǎn)P、N不重合,此時AP+ND≠AD即2x+x
2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值.
(2)以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話,因為由第一問可知點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時,AP=MC,BQ=ND;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時,AN=MC,BQ=PD.所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式.
(3)如果以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形,則必須使得AP+ND≠AD即2x+x
2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x
2,BQ=MC即x=3x,x≠0.這些條件不能同時滿足,所以不能成為等腰梯形.
解答:解:(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時,以PQ,MN為兩邊,以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形.
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時,由x
2+2x=20,得x
1=
-1,x
2=-
-1(舍去).
因為BQ+CM=x+3x=4(
-1)<20,此時點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合.
所以x=
-1符合題意.
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時,由x+3x=20,得x=5.
此時DN=x
2=25>20,不符合題意.
故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合.
所以所求x的值為
-1.
(2)由(1)知,點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè),
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時,
由20-(x+3x)=20-(2x+x
2),
解得x
1=0(舍去),x
2=2.
當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形.
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時,
由20-(x+3x)=(2x+x
2)-20,
解得x
1=-10(舍去),x
2=4.
當(dāng)x=4時四邊形NQMP是平行四邊形.
所以當(dāng)x=2或x=4時,以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
(3)過點(diǎn)Q,M分別作AD的垂線,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn).
由于2x>x,
所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè).
若以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形,
則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè),且PE=NF,
即2x-x=x
2-3x.
解得x
1=0(舍去),x
2=4.
由于當(dāng)x=4時,以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
所以以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形.
點(diǎn)評:本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn).