Question

（本題12分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩個不同的點A（－2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，3），連結(jié)BC、AC，該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸相交于點D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式、點D的坐標及直線BC的函數(shù)解析式；
（2）點Q在線段BC上，使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△相似，求出點Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，若存在點Q，請任選一個Q點求出△外接圓圓心的坐標．

Answer 1

（1）D（1，0）（2）Q（2，）或（，）（3）M（，）

試題分析：解：（1）由題意，設(shè)二次函數(shù)為
把點C（0，3）代入得：
所以這個二次函數(shù)的解析式是　……2分
因為，所以拋物線的對稱軸是直線，點D的坐標為（1，0）．　…………1分
由待定系數(shù)法得直線BC的解析式為．　………… 1分
（2）因為A（－2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0）．
所以O(shè)D=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，BC==5.

① 如圖1，當時，,即,得.
過點Q作軸于點H，則QH∥CO.所以.解得.
把代入，得．
所以，此時，點Q的坐標為（2，）．　…………　2分
②如圖2，當時，,即,得．
過點Q作軸于點G，則QG∥CO.所以.解得．
把代入，得．
所以，此時，點Q的坐標為（，）．…………2分
綜上所述，點Q坐標為（2，）或（，）．
（3）當點Q的坐標為（2，）時，設(shè)圓心的M（，）．
由MD=MQ，得.
解得，則M（，）．　………… 4分
點評：此類試題屬于難度一般的試題，考生在解答此類試題時一定要對二次函數(shù)的頂點坐標公式熟練把握和運用