Question

已知兩直線，分別經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B，并且當(dāng)兩直線同時相交于y正半軸的點(diǎn)C時，恰好有，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)K，如圖所示。

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的函數(shù)解析式；

(第24題)

(2)拋物線的對稱軸被直線，拋物線，直線和x軸

依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由。

(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點(diǎn)為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

 (1)解法1：由題意易知：△BOC∽△COA

              ∴，即

              ∴

              ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，)

              由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為

              把A(1，0)，B(，0)的坐標(biāo)分別代入，得

                           

              解這個方程組，得

              ∴拋物線的函數(shù)解析式為

   解法2：由勾股定理，得

           又∵OB=3，OA=1，AB=4

           ∴

            ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，)

            由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，把C(0，)代入

            函數(shù)解析式得

            所以，拋物線的函數(shù)解析式為

(2)解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF

          理由如下：

          可求得直線的解析式為，直線的解析式為

          拋物線的對稱軸為直線

          由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)

          ∴KD=，DE=，EF=

          ∴KD=DE=EF

解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF

       理由如下：

       由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，則可得

       ，，

       由頂點(diǎn)D坐標(biāo)(，)得

       ∴KD=DE=EF=

(3)解法1：(i)以點(diǎn)K為圓心，線段KC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn)，由拋物線對稱性可知點(diǎn)為點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)

          ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，此時△為等腰三角形

          (ii)當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CK長為半徑畫圓弧時，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)A，而三點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形

          (iii)作線段KC的中垂線l，由點(diǎn)D是KE的中點(diǎn)，且，可知l經(jīng)過點(diǎn)D，

          ∴KD=DC

          此時，有點(diǎn)即點(diǎn)D坐標(biāo)為(，)，使△為等腰三角形；

          綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時，△MCK為等腰三角形。

解法2：當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時，△MCK為等腰三角形。

       理由如下：

       (i)連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，)

       又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)，則GC∥AB

       ∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形

       ∴△CGK為正三角形

       ∴當(dāng)與拋物線交于點(diǎn)G，即∥AB時，符合題意，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)

       (ii)連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形

       ∴當(dāng)過拋物線頂點(diǎn)D時，符合題意，此時點(diǎn)坐標(biāo)為(，)

       (iii)當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對稱軸右邊時，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時，滿足CM=CK，但點(diǎn)

A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形

       綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(，)，(，)時，△MCK為等腰三

角形。