Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx﹣10經(jīng)過點(diǎn)A（12，0）和B（a，﹣5），雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)B．

（1）求直線y=kx﹣10和雙曲線y=的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，沿過點(diǎn)A與y軸平行的直線向下運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜12），連接BC，作BD⊥BC交x軸于點(diǎn)D，連接CD，

①當(dāng)點(diǎn)C在雙曲線上時(shí)，求t的值；

②在0＜t＜6范圍內(nèi)，∠BCD的大小如果發(fā)生變化，求tan∠BCD的變化范圍；如果不發(fā)生變化，求tan∠BCD的值．

③當(dāng)DC=時(shí)，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣；（2）①，②當(dāng)0＜t＜6時(shí)，點(diǎn)D在線段OA上，∠BCD的大小不變．，③t=或（舍棄）；綜上所述，滿足條件的t的值為t=或s．

【解析】

（1）理由待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）①求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問題；

②如圖1中，設(shè)直線AB交y軸于M，則M（0，﹣10），A（12， 0），取CD的中點(diǎn)K，連接AK、BK．證明A、D、B、C四點(diǎn)共圓，可得∠DCB=∠DAB，得出tan∠DCB=tan∠DAB=，即可解決問題；

③分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問題；

（1）∵直線y=kx﹣10經(jīng)過點(diǎn)A（12，0）和B（a，﹣5），

∴12k﹣10=0，

∴k=，

∴y=x﹣10，

∴﹣5=a﹣10，

∴a=6，

∴B（6，﹣5），

∵雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)B，

∴m=﹣30，

∴雙曲線解析式為y=﹣．

（2）①∵AC∥y軸，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為12，

y=﹣=﹣，

∴C（12，﹣），

∴AC=，

∴點(diǎn)C在雙曲線上時(shí)，t的值為．

③如圖2中，當(dāng)t＜5時(shí)，作BM⊥OA于M，CN⊥BM于N．

則△CNB∽△BMD，

∴=，

∴=，

∴DM=（5﹣t），

∴AD=6+（5﹣t），

∵DC=，

∴[6+（5﹣t）]2+t2=（）2，

解得t=或（舍棄）．

當(dāng)t＞5時(shí)，同法可得：[6﹣（t﹣5）]2+t2=（）2，

解得t=或（舍棄），

綜上所述，滿足條件的t的值為t=或s．