Question

如圖，點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n為x軸的正半軸上的點，OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，分別以A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n為直角頂點作Rt△OA₁B₁，Rt△A₁A₂B₂，Rt△A₂A₃B₃，…，Rt△A_n-1A_nB_n，它們的面積分別記為S₁，S₂，S₃，…，S_n，且S₁=1；雙曲線恰好經(jīng)過點B₁，B₂，B₃，…，B_n．
（1）求雙曲線和直線A₁B₂對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）填空：S₁₀=

 

，S_n=

 

；
（3）若直線B₁O交雙曲線于點P，在這系列直線：A₁B₂，A₂B₃，…，A_n-1B_n中存在經(jīng)過點P的直線嗎？若存在，直接找出來．

Answer 1

分析：（1）若要求雙曲線解析式，只需求出雙曲線上的一個點有坐標(biāo)即可，由題意，可從B點入手；
（2）在第n個三角形中，A_n點坐標(biāo)為（n，0）．B_n橫坐標(biāo)為n，代入（1）中求得的解析式可得出B_n點坐標(biāo)，從而求出AB_n代Rt△A_n-1A_nB_n面積公式Sn=

1

2

An-1An×AnBn求出第n個三角形的面積表達(dá)式，再代入n的值即可求得所要求得的三角形的面積．
（3）求出P點坐標(biāo)，再解出直線A_n-1B_n的通式，代入P點坐標(biāo)驗算．

解答：解：（1）由于A₁（1，0）S₁=

1

2

OA1×A1B1=1
∴A₁B₁=2
即：B₁（1，2）
①設(shè)雙曲線為：y=

k1

x

，代入B₁（1，2）得：k₁=2
∴雙曲線為：y=

2

x

②∵A₂坐標(biāo)為（2，0）
∴B₂橫坐標(biāo)為2，代入雙曲線解析式得B₂坐標(biāo)為：（2，1）
設(shè)直線A₁B₂解析式為：y=k₂x+b
代入A₁（1，0）和B₂（2，1）得

k2+b=0 2k2+b=1

解得：

k2=1 b=-1

∴直線A₁B₂對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x-1；

（2）由于A_n坐標(biāo)為（n，0）即B_n橫坐為n
將B_n橫坐標(biāo)代入雙曲線解析式中得
Bn(n，

2

n

)
Sn=

1

2

An-1An×AnBn=

1

2

×1×

2

n

=

1

n

∴S10=

1

10

（3）OB₁直線方程為y=2x
由

y=2x y= 2 x

得

x1=1 y1=2

，

x2=-1 y2=-2

，
∴P點坐標(biāo)為：（-1，-2）
由A_n-1（n-1，0），B_n（n，

2

n

）可得直線A_n-1B_n對應(yīng)的函數(shù)解析式為：
y=

2

n

x+

2

n

-2
即：y=

2

n

(x+1)-2
恒過點（-1，-2），
∴直線A₁B₂，A₂B₃，A_n-1B_n都經(jīng)過點P（-1，-2）．

點評：此題考查了雙曲線與直線的運用，將直線與雙曲線解析式聯(lián)立可求出交點坐標(biāo)．解題時找出規(guī)律求出通式尋找合理的解題方法將是解決此題的關(guān)鍵．