Question

（1）在△ABC中，AB=m²-n²，AC=2mn，BCm²+n²=（m＞n＞0）．
求證：△ABC是直角三角形；
（2）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，若AB=m²-n²，CD=2mn，AD=n²，BC=m²+2n²，（m＞n＞0）．求證：EF=

1

2

（m²+n²）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出AB、AC、BC的表達(dá)式，然后分別平方可得出BC²=AB²+AC²，從而利用勾股定理的逆定理即可作出證明．
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH∥CD交BC于點(diǎn)H，判斷出四邊形ABGE是平行四邊形，繼而證明△EGH是直角三角形，結(jié)合條件得出點(diǎn)F是Rt△EGH的斜邊GH上的中線，從而可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AB=m²-n²，AC=2mn，BC=m²+n²（m＞n＞0），
∴AB²=m⁴-2m²n²+n⁴，AC²=4m²n²，BC²=m⁴+2m²n²+n⁴，
∴BC²=AB²+AC²，
∴△ABC是直角三角形．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB交BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH∥CD交BC于點(diǎn)H，
∵EG∥AB  AD∥BC
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
∴AE=BG，EG=AB，
同理可證ED=HC，EH=CD，
∴AD=BG+HC，
∵AB=m²-n²，CD=2mn，AD=n²，BC=m²+2n²，
∴EG=m²-n²，EH=2mn，GH=m²+n²，
∴EG²+EH²=GH²，
∴△EGH是直角三角形，
又點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，
∴AE=DE，BF=CF，
∴BG=CH，
∴BF-BG=CF-FH，
∴GF=HF，
即點(diǎn)F是Rt△EGH的斜邊GH上的中線，
∴EF=

1

2

GH，
∴EF=

1

2

（m²+n²）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形、勾股定理的逆定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理及平行四邊形的性質(zhì)．