Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC相交于E，此時(shí)Rt△AEP∽R(shí)t△ABC，點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，EM=EN，EP:EM=12:13.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求CM的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合，設(shè)AP=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）CM=26；（2）y=50-x，0<x<32

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)已知條件得出AC的值，再根據(jù)CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值；

（2）先根據(jù)sin∠EMP=，設(shè)出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出，求出a的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并且能求出x的取值范圍．

解： （1）∵∠ACB=90°，

∴，

∵CP⊥AB，

∴

∴，

∴CP=24，

∴；

（2）∵sin∠EMP=，

∴設(shè)EP=12a，則EM=13a，PM=5a，

∵EM=EN，

∴EN=13a，PN=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴，

∴，

∴x=16a，

∴，

∴BP=50-16a，

∴y=50-21a=50-21×=50-

∵當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，x=0．當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，x=32．

∴x的取值范圍是：（0＜x＜32）.

考點(diǎn)：相似三角形的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.