Question

已知：拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0）、B（-2，-5），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）某直線過點(diǎn)A（-1，0），且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求此直線的解析式；
（3）直線l過點(diǎn)C，且l∥x軸，E為l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥x軸于F．求使DE+EF+BF的和為最小值的E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出DE+EF+BF的最小值．

Answer 1

分析：（1）將A（-1，0）、B（-2，-5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c即可求得該拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線解析式為y=kx+m，要想使直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，方程x²+（k-2）x+k-3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解方程即可得出直線的解析式；
（3）先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，將D向下平移3個(gè)單位得D′點(diǎn)，求出直線BD′的解析式，便可求出F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得E點(diǎn)坐標(biāo)，可得DE+EF+BF的最小值是3+3

5

．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得：

-1-b+c=0 -4-2b+c=-5

，
解得：

b=2 c=3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）①若所求直線與y軸相交，設(shè)其解析式為y=kx+m（k≠0），
∵直線過A（-1，0），
∴m=k，
∴y=kx+k，
∵直線y=kx+k與拋物線y=-x²+2x+3只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程kx+k=-x²+2x+3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
即方程x²+（k-2）x+k-3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=k²-8k+16=0，
∴k₁=k₂=4，
∴直線的解析式為y=4x+4，
②若所求直線與y軸平行，所求直線為x=-1，
綜上所述，所求直線的解析式為y=4x+4或x=-1；

（3）拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），與y軸交點(diǎn)C（0，3）．
把點(diǎn)D（1，4）向下平移3個(gè)單位，得到D′（1，1），
連接BD′交x軸于點(diǎn)F，
過點(diǎn)F作FE⊥直線l于E，則E、F兩點(diǎn)為所求．
設(shè)直線BD′的解析式為：y=ax+n（a≠0）
則

-2a+n=-5 a+n=1

，
解得：

a=2 n=-1

，
∴直線BD′的解析式為：y=2x-1，
∴直線BD′與x軸的交點(diǎn)F（

1

2

，0），
∵EF⊥x軸，EF=3，
∴E（

1

2

，3），
∴DE+EF+BF的最小值是3+3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和方程有相等實(shí)數(shù)根的解及動(dòng)點(diǎn)問題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．