Question

（2006•河北區(qū)一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，P為AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BT于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，（如圖1），求證：PA•PB=PE•PF；
（II）當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)時(shí)（如圖2），第（1）的結(jié)論還成立嗎？如果成立請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圓周角、弦切角間的關(guān)系證明△APF∽△BPE，根據(jù)成比例線(xiàn)段證明 PA•PB=PE•PF 成立．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（Ⅰ）的結(jié)論仍成立．先證明∠AFP=∠PBE，再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，根據(jù)成比例線(xiàn)段證明 PA•PB=PE•PF 成立．

解答：（Ⅰ）證明：如圖1，∵EB為⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ACB=∠ABE，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠ACB，故∠AFP=∠ABE．
由于∠APF=∠EPB，∴△APF∽△BPE，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．

（Ⅱ）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（Ⅰ）的結(jié)論仍成立．
∵EB為⊙O的切線(xiàn)，
∴∠ACB=∠ABT，
∵EF∥BC，
∴∠ACB=∠ABT=∠AFP，
∴∠AFP=∠PBE．
再由∠BPE=∠FPA，可得△PAF∽△PEB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的相交弦及切線(xiàn)的性質(zhì)，用三角形全等證明線(xiàn)段間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．