Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折痕CE＝5，且．

1.判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；

2.求直線CE與x軸交點P的坐標；

3. 是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.與相似．----------------------------------------------- 1分

理由如下：

由折疊知，，

，

又，

．   3分

2.，設(shè)，則．由勾股定理得．

．--------------- 4分

由（1），得，

，

．------------------------------------------------ 5分

在中，，

，解得．

，點的坐標為，

點的坐標為，----------------------------------------- 6分

設(shè)直線的解析式為，

解得

，則點的坐標為．  8分

3.滿足條件的直線有2條：，．--------------------- 12分

下圖中的直線DB與直線DM即為所求．

注：第⑶題如何嚴密思考？靠碰運氣找到兩條直線，顯然不具有一般性，也不能從嚴格意義上說明是否還存在其他符合要求的直線．下面的思考方法是非常精彩的：

    首先說明一個簡單事實：三條直線兩兩相交，不經(jīng)過同一點，則三條直線能夠圍成三角形．當(dāng)平行移動其中一條直線時（移動后的直線不經(jīng)過另兩條直線的交點），不改變圍成三角形的形狀（即始終相似）．

    基于上述事實，將y軸平移至點D，交直線CE于點Q，直線CE即直線PQ，則原問題轉(zhuǎn)化為：

    如下圖，△DQP中，∠D＝90°．經(jīng)過點D的直線l，斜邊所在的直線，與兩直角邊分別構(gòu)成的兩個三角形相似，這樣的直線l有幾條？

    顯然，當(dāng)直線l經(jīng)過△DQP內(nèi)部時，只有一條；當(dāng)直線在△DQP外部時，也只有一條．

【解析】⑴根據(jù)相似三角形的判定進行解答

⑵先求出點C,E的坐標，再求出直線的解析式，從而求得點的坐標

⑶根據(jù)相似三角形的判定進行解答