Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0（k≥1）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k取哪些整數(shù)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為整數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先由k≠0，確定此方程為一元二次方程．要證明方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，只有證明△≥0，通過(guò)代數(shù)式變形即可證明；
（2）先利用求根公式求出兩根，x₁=-1，x2=1-

2

k

，只要2被k整除，并且有k≥1的整數(shù)，即可得到k的值．

解答：證明：（1）∵k≥1，
∴k≠0，此方程為一元二次方程，
∵△=4-4k（2-k）=4-8k+4k²=4（k-1）²，
而4（k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴方程恒有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：方程的根為x=

-2± 4(k-1)2

2k

=

-1± (k-1)2

k

，
∵k≥1，∴x=

-1± (k-1)2

k

=

-1±(k-1)

k

．
∴x₁=-1，x2=1-

2

k

，
∵k≥1，若k為整數(shù)，
∴當(dāng)k=1或k=2時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根均為整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了解方程的方法和整數(shù)的整除性質(zhì)．