Question

如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，分別做勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．
（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式．
（2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．
（3）設從出發(fā)起，運動了t秒．如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍．
（4）設從出發(fā)起，運動了t秒．當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式．
（2）點D就是拋物線與CB的另一個交點．在拋物線的解析式中令y=6，就可以求出D的坐標．
（3）本題應分Q在OC上，和在CB上兩種情況進行討論．即0≤t≤5和5＜t≤10兩種情況．
（4）P、Q兩點運動的路程之和可以用t表示出來，梯形OABC的周長就可以求得．當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，就可以得到一個關于t的方程，可以解出t的值．梯形OABC的面積可以求出，梯形OCQP的面積可以用t表示出來．把t代入可以進行檢驗．
解答：解：（1）∵O、C兩點的坐標分別為O（0，0），C（8，6），
設OC的解析式為y=kx+b，將兩點坐標代入得：k=，b=0，
∴y=x（2分）
∵A，O是x軸上兩點，
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-18）
再將C（8，6）代入得：a=-
∴y=-x²+x．（5分）

（2）D（10，6）．

（3）當Q在OC上運動時，可設Q（m，m），
依題意有：m²+（m）²=（2t）²
∴m=t，
∴Q（t，t），（0≤t≤5）
當Q在CB上時，Q點所走過的路程為2t，
∵OC=10，
∴CQ=2t-10，
∴Q點的橫坐標為2t-10+8=2t-2，
∴Q（2t-2，6），（5＜t≤10）．（11分）

（4）∵梯形OABC的周長為：10+18+10+6=44，當Q點OC上時，P運動的路程為t，則Q運動的路程為（22-t），
△OPQ中，OP邊上的高為：（22-t）×，S_△OPQ=t（22-t）×，
梯形OABC的面積S=（18+10）×6=84，
∵直線PQ把梯形的面積也分成相等的兩部分，即S_△OPQ=S，
依題意有：t（22-t）×=84×，
整理得：t²-22t+140=0
∵△=22²-4×140＜0，
∴這樣的t不存在，
當Q在BC上時，Q走過的路程為22-t，
∴CQ的長為：22-t-10=12-t，
∴梯形OCQP的面積=×6×（22-t-10+t）=36≠84×，
∴這樣的t值不存在．
綜上所述，不存在這樣的t值，使得P，Q兩點同時平分梯形的周長和面積．（16分）
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，本題是函數(shù)與梯形的性質(zhì)相結合的綜合題．