Question

某商場(chǎng)在一樓和二樓之間安裝了一自動(dòng)扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時(shí)從自動(dòng)扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級(jí)，且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)頂部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少級(jí)？
（2）現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺(tái)階的級(jí)數(shù)與自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩個(gè)孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動(dòng)扶梯上樓（不考慮扶梯與樓梯間的距離）．求男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級(jí)臺(tái)階？

Answer 1

分析：（1）如果設(shè)女孩上梯速度為x級(jí)/分，自動(dòng)扶梯的速度為y級(jí)/分，扶梯露在外面的部分有S級(jí)．題中有兩個(gè)等量關(guān)系，男孩走27級(jí)的時(shí)間等于扶梯走（S-27）級(jí)的時(shí)間；女孩走18級(jí)的時(shí)間等于扶梯走（S-18）級(jí)的時(shí)間，據(jù)此列出方程組，求出S的值即可；
（2）如果設(shè)男孩第一次追上女孩時(shí)走過(guò)自動(dòng)扶梯m遍，走過(guò)樓梯n遍，那么女孩走過(guò)自動(dòng)扶梯（m-1）遍、走過(guò)樓梯（n-1）遍．
根據(jù)兩人所走的時(shí)間相等，列出方程

54m

y+2x

+

54n

2x

=

54(m-1)

y+x

+

54(n-1)

x

．將（1）中求得的y與x的關(guān)系式y(tǒng)=2x代入，可得6n+m=16．由已知條件可知m、n中一定有一個(gè)是正整數(shù)，且0≤m-n≤1．通過(guò)試驗(yàn)可以求出m，n的具體值，進(jìn)而求出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)女孩上梯速度為x級(jí)/分，自動(dòng)扶梯的速度為y級(jí)/分，扶梯露在外面的部分有S級(jí)，則男孩上梯的速度為2x級(jí)/分．
由題意，有

27 2x = S-27 y 18 x = S-18 y

，
解得S=54．
答：扶梯露在外面的部分有54級(jí)．

（2）設(shè)男孩第一次追上女孩時(shí)走過(guò)自動(dòng)扶梯m遍，走過(guò)樓梯n遍，則女孩走過(guò)自動(dòng)扶梯（m-1）遍、走過(guò)樓梯（n-1）遍．
由題意，有

54m

y+2x

+

54n

2x

=

54(m-1)

y+x

+

54(n-1)

x

．
由（1）中可求得y=2x，代入上面方程化簡(jiǎn)得6n+m=16．
∵無(wú)論男孩第一次追上女孩是在自動(dòng)扶梯還是在下樓時(shí)，m、n中一定有一個(gè)是正整數(shù)，且0≤|m-n|≤1．
試驗(yàn)知只有m=3，n=2

1

6

符合要求．
∴3×27+2

1

6

×54=198（級(jí)）．
答：男孩第一次追上女孩時(shí)走了198級(jí)臺(tái)階．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分式方程在行程問(wèn)題中的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．難點(diǎn)在于自動(dòng)扶梯在上升，具有一定的速度，同時(shí)男孩、女孩也在上樓梯，變化量較多．解題時(shí)要善于抓住不變量，只有不變量才是列方程的依據(jù)．另外，本題求解時(shí)設(shè)的未知數(shù)x、y，只設(shè)不求，這種方法在解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)常用來(lái)幫助分析數(shù)量關(guān)系，便于解題．