Question

如圖，△ABC中AB的垂直平分線交AC、AB于點P、Q，若PC=2PA，AB=2

2

，∠A=45°，則PC=

 

，BC=

 

．

Answer 1

分析：根據線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等及已知條件“∠A=45°”證明△APB是等腰直角三角形，然后在△PAB中利用勾股定理求得PA的長度是2，從而求得PC=4；在直角三角形PCB中，根據勾股定理求BC的長度．

解答：解：∵AB的垂直平分線交AC、AB于點P、Q，
∴PA=PB（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等），
∴∠A=∠PBA（等邊對等角）；
又∠A=45°，
∴∠APB=90°（三角形內角和定理），即PB⊥AC，
∵AB=2

2

，
∴AB=

2

PA=2

2

，
∴PA=PB=2；
∵PC=2PA=4；
在直角三角形PBC中，
BC²=PC²+PB²=16+4=20，
∴BC=2

5

；
故答案是：4、2

5

．

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．