Question

（2009•懷柔區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）①如果AB=AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)．在圖4中同樣作出正方形ADEF，你發(fā)現(xiàn)（1）問中的結(jié)論是否成立？不用說明理由；
②如果∠BAC=90°，AB≠AC，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)．在圖5中同樣作出正方形ADEF，你發(fā)現(xiàn)（1）問中的結(jié)論是否成立？不用說明理由；

（3）要使（1）問中CF⊥BC的結(jié)論成立，試探究：△ABC應(yīng)滿足的一個(gè)條件，（點(diǎn)C、F重合除外）畫出相應(yīng)圖形（畫圖不寫作法），并說明理由；
（4）在（3）問的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，設(shè)AC=，BC=，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)CF與BD位置關(guān)系為互相垂直，數(shù)量關(guān)系是相等．首先證明△DAB≌△FAC，然后推出∠ACF=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，求出CF⊥BD；
（2）根據(jù)題意畫出圖形來理解．學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合解答問題．
（3）過點(diǎn)A作AG⊥AC，證明△GAD≌△CAF后可證得CF⊥BD；
（4）作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，利用勾股定理求出AQ=CQ=2，證明△AQD∽△DCP，利用線段比求出CP的值．
解答：解：（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直、數(shù)量關(guān)系是相等；（1分）

②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立（如圖3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①畫出圖形（如圖4），判斷：（1）中的結(jié)論不成立．

②畫出圖形（如圖5），判斷：（1）中的結(jié)論不成立．（4分）

（3）當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，CF⊥BD（如圖6）．
理由是：過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）

（4）當(dāng)具備∠BCA=45°時(shí)，
過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，（如圖7），
∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
設(shè)CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴，∴．
∴CP=-x²+x=-（x-1）²+．（7分）
∵0＜x≤，
∴當(dāng)x=1時(shí)，CP有最大值．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是相似三角形的判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)．