Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6cm，P、Q分別是BC、AD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)以4cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，Q、P點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過Q作QF⊥BC于F，交AC于E，連接EP．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），△EPC的面積為y（cm²）
（1）求y（cm²）與x（s）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為幾秒時(shí)，△EPC的面積有最大值，最大值是多少cm²；
（3）當(dāng)x為幾秒時(shí)，△EPC是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）判斷出四邊形CDQF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得CF=DQ，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ACB=45°，然后求出△CEF是等腰直角三角形，并求出EF=CF，再求出PC，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（2）把函數(shù)關(guān)系式整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)∠ACB=45°，分PE=CE時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PC=2CF，列出方程求解即可；PE=FC時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)F重合，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，QF⊥BC，
∴四邊形CDQF是矩形，
∴CF=DQ=4x，
∵∠ACB=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF=4x，
又∵PC=BC-BP=6-3x，
∴△EPC的面積為y=

1

2

PC•EF=

1

2

（6-3x）•4x=-6x²+12x，
點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為6÷3=2秒，
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的時(shí)間為6÷4=1.5秒，
∴0≤x≤1.5，
∴y=-6x²+12x（0≤x≤1.5）；

（2）∵y=-6x²+12x，
=-6（x²-2x+1），
=-6（x-1）²+6，
∴x=1秒時(shí)，△EPC的面積有最大值，最大值是6cm²；

（3）∵∠ACB=45°，
∴PE=CE和PE=FC時(shí)，△EPC是等腰直角三角形，
①PE=CE時(shí)，PC=2CF，
6-3x=2×4x，
解得x=

6

11

，
②PE=FC時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)F重合，
PC=CF，
∴6-3x=4x，
解得x=

6

7

，
綜上所述，x=

6

11

或

6

7

時(shí)，△EPC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題是四邊形綜合題型，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，（3）難點(diǎn)在于要分情況討論．