Question

已知平面直角坐標系xOy中，點A在拋物線y=

2 3

3

x²+

3

3

上，過A作AB⊥x軸于點B，AD⊥y軸于點D，將矩形ABOD沿對角線BD折疊后得A的對應點為A′，重疊部分（陰影）為△BDC．
（1）求證：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A點的坐標是（1，m），求△BDC的面積；
（3）在（2）的條件下，求直線BC的解析式，并判斷點A′是否落在已知的拋物線上？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過證角相等來求解．由折疊的性質可得出∠ABD=∠ABD，根據AB∥OD，可得出∠ABD=∠ODB，因此∠ODB=∠CBD，CD=BC，△BDC是等腰三角形．
（2）求△BCD的面積，可用△BOD和△BOC的面積差來求，已知A的坐標為（1，m），那么可得出OB=AD=1，由于A在拋物線上，可根據拋物線的解析式求出m的值，即可得出AB、OD的長．進而可求出∠ABD的度數(shù)，也就能求出∠OBC的度數(shù)．在直角三角形OBC中，根據OB和∠OBC的度數(shù)即可求出OC的長，然后根據三角形的面積公式即可求出△BCD的面積．
（3）在（2）中已得出了B、C的坐標，可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
判定A′是否在拋物線上，首先要知道A′的坐標，可過A′作x軸的垂線，用求OC的方法求出A′的縱坐標，然后代入直線BC中即可得出A′的坐標，將A′的坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出A′是否在拋物線上．

解答：（1）證明：由折疊的性質之：∠ABD=∠DBC，
∵四邊形ABOD是矩形
∴AB∥DO
∴∠ABD=∠CDB
∴∠CBD=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形．

（2）解：∵點A（1，m）在y=

2 3

3

x²+

3

3

上，
∴m=

2 3

3

+

3

3

=

3

．
在直角三角形ABD中，AB=

3

，DA=1，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBO=30°，CO=OB•tan∠CBO=

3

3

，
S_△BCD=S_△BDO-S_△BCO=

1

2

OD•OB-

1

2

OB•OC=

3

2

-

1

2

×

3

3

=

3

3

．

（3）解：設直線BC解析式為：y=ax+b，
∵C（0，

3

3

），B（1，0）；
∴

b= 3 3 a+b=0

，
解得

a=- 3 3 b= 3 3

，
y=-

3 x

3

+

3

3

，
設A′的坐標為（x，y），過A′作A′M⊥x軸于M，
A′M=

1

2

BA′=

1

2

AB=

3

2

，
∴y=

3

2

，
代入y=-

3 x

3

+

3

3

，
得x=-

1

2

，
點A′的坐標是（-

1

2

，

3

2

），
將x=-

1

2

代入y=

2 3

3

x²+

3

3

中
得：y=

3

2

，
∴A′落在此拋物線上．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形折疊變換、等腰三角形的判定以及二次函數(shù)的應用等知識點，綜合性較強，考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．