已知平面直角坐標系xOy中,點A在拋物線y=
2
3
3
x2+
3
3
上,過A作AB⊥x軸于點B,AD⊥y軸于點D,將矩形ABOD沿對角線BD折疊后得A的對應點為A′,重疊部分(陰影)為△BDC.
(1)求證:△BDC是等腰三角形;
(2)如果A點的坐標是(1,m),求△BDC的面積;
(3)在(2)的條件下,求直線BC的解析式,并判斷點A′是否落在已知的拋物線上?請說明理由.
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分析:(1)可通過證角相等來求解.由折疊的性質可得出∠ABD=∠ABD,根據AB∥OD,可得出∠ABD=∠ODB,因此∠ODB=∠CBD,CD=BC,△BDC是等腰三角形.
(2)求△BCD的面積,可用△BOD和△BOC的面積差來求,已知A的坐標為(1,m),那么可得出OB=AD=1,由于A在拋物線上,可根據拋物線的解析式求出m的值,即可得出AB、OD的長.進而可求出∠ABD的度數(shù),也就能求出∠OBC的度數(shù).在直角三角形OBC中,根據OB和∠OBC的度數(shù)即可求出OC的長,然后根據三角形的面積公式即可求出△BCD的面積.
(3)在(2)中已得出了B、C的坐標,可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式.
判定A′是否在拋物線上,首先要知道A′的坐標,可過A′作x軸的垂線,用求OC的方法求出A′的縱坐標,然后代入直線BC中即可得出A′的坐標,將A′的坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出A′是否在拋物線上.
解答:(1)證明:由折疊的性質之:∠ABD=∠DBC,
∵四邊形ABOD是矩形
∴AB∥DO
∴∠ABD=∠CDB
∴∠CBD=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形.

(2)解:∵點A(1,m)在y=
2
3
3
x2+
3
3
上,
∴m=
2
3
3
+
3
3
=
3

在直角三角形ABD中,AB=
3
,DA=1,
∴∠ABD=30°,
∴∠CBO=30°,CO=OB•tan∠CBO=
3
3
,
S△BCD=S△BDO-S△BCO=
1
2
OD•OB-
1
2
OB•OC=
3
2
-
1
2
×
3
3
=
3
3


(3)解:設直線BC解析式為:y=ax+b,
∵C(0,
3
3
),B(1,0);
b=
3
3
a+b=0
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解得
a=-
3
3
b=
3
3
,
y=-
3
x
3
+
3
3

設A′的坐標為(x,y),過A′作A′M⊥x軸于M,
A′M=
1
2
BA′=
1
2
AB=
3
2
,
∴y=
3
2

代入y=-
3
x
3
+
3
3
,
得x=-
1
2
,
點A′的坐標是(-
1
2
,
3
2
),
將x=-
1
2
代入y=
2
3
3
x2+
3
3

得:y=
3
2
,
∴A′落在此拋物線上.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形折疊變換、等腰三角形的判定以及二次函數(shù)的應用等知識點,綜合性較強,考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.
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向拉長為原來的
 
倍,若點A、B縱坐標不變,橫坐標變成原來的
12
,則線段AB
 
向縮短為原來的
 

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5
4
5
4
時,四邊形ABDC的周長最短.

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(2013•上海)已知平面直角坐標系xOy(如圖),直線y=
1
2
x+b
經過第一、二、三象限,與y軸交于點B,點A(2,t)在這條直線上,聯(lián)結AO,△AOB的面積等于1.
(1)求b的值;
(2)如果反比例函數(shù)y=
k
x
(k是常量,k≠0)的圖象經過點A,求這個反比例函數(shù)的解析式.

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