Question

【題目】在中，，，以邊的中點(diǎn)為圓心，作半圓與相切，點(diǎn)分別是邊和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則長(zhǎng)的最大值與最小值的和是__________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

如圖，設(shè)O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小為OP1-OQ1，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2最大，即可得出答案．

如圖所示：

設(shè)O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交 O于Q1，

此時(shí)垂線段OP1最短，最小值為OP1-OQ1，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵AO=BO，

∴，

同理可求OE＝3，

即，

∴PQ最小值P1Q1=O P1-OQ1=1，

如圖，當(dāng)在AB邊上時(shí)，與B重合時(shí)，P2Q2經(jīng)過(guò)圓心，

∵經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，

∴PQ最小值P2Q2=O B-OQ2=3+5=8，

∴PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是1+8=9.

故答案為：9.