Question

看對(duì)話回答：
小華說(shuō)：這個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是2013°．
小明說(shuō)：什么？不可能吧！你看，你錯(cuò)把一個(gè)外角當(dāng)內(nèi)角加在了一起！
（1）內(nèi)角和為2013°，小明為什么說(shuō)不可能？
（2）小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？

Answer 1

分析：（1）由n邊形的內(nèi)角和公式為（n-2）180°，可知n邊形的內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍，而2013不能被180整除，所以小明說(shuō)不可能；
（2）根據(jù)這個(gè)凸多邊形的某一個(gè)內(nèi)角的外角與其余內(nèi)角的和為2013°列出方程，挖掘隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件求解．

解答：解：（1）∵2013÷180=11

33

180

，
即2013不能被180整除，
∴小明說(shuō)不可能；

（2）設(shè)小華求的是n幾邊形的內(nèi)角和，這個(gè)內(nèi)角為x度，則0＜x＜180°．
根據(jù)題意，得（n-2）•180°-x+（180°-x）=2013°，
解得n=12+

2x+33

180

．
∵n為正整數(shù)，
∴2x+33必為180的倍數(shù)，
又∵0＜x＜180，
∴

33

180

＜

2x+33

180

＜

393

180

，
∴n=13或14．
∴小華求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系，題目較難．n邊形的內(nèi)角和為：180°•（n-2）；多邊形的內(nèi)角與它相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角．