Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，若∠EAF=45°，則下列結(jié)論：
①BE²=AB²+CE²；
②AC²-AE²=EC•EB；
③BE²+CE²=2AE²；
④CF²+BE²=EF²
其中正確的是（　�。�

A．①②③④

B．只有①②③

C．只有①④

D．只有②③④

Answer 1

分析：過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，設(shè)AB=AC=2a，表示出CD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DE=CE=

2

2

a，BC=2

2

a，BG=CG=AG=

2

a，再求出BE，代入①計(jì)算；利用勾股定理求出AE，然后代入②計(jì)算；代入③進(jìn)行計(jì)算；求出∠DAE=∠F，利用兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ACF和△EDA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出CF，再求出EF，然后代入④進(jìn)行計(jì)算；最后即可得解．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，設(shè)AB=AC=2a，
∵∠BAC=90°，
∴BC=2

2

a，BG=CG=AG=

2

a，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×2a=a，
∵DE⊥BC，
∴DE=CE=

2

2

a，
∴BE=BC-CE=2

2

a-

2

2

a=

3 2

2

a，
∴AB²+CE²=（2a）²+（

2

2

a）²=

9

2

a²=BE²，故①正確；

∵GE=CG-CE=

2

a-

2

2

a=

2

2

a，
∴在Rt△AGE中，AE=

AG2+GE2

=

( 2 a)2+( 2 2 a)2

=

10

2

a，
∴AC²-AE²=（2a）²-（

10

2

a）²=

3

2

a²，
EC•EB=

2

2

a•

3 2

2

a=

3

2

a²，
∴AC²-AE²=EC•EB，故②正確；

∵BE²+CE²=（

3 2

2

a）²+（

2

2

a）²=5a²；
2AE²=2×（

10

2

a）²=5a²，
∴BE²+CE²=2AE²，故③正確；

∵∠EAF=45°，
∴∠DAE+∠CAF=45°，
∵∠CAF+∠F=∠ACB=45°，
∴∠DAE=∠F，
又∵∠ADE=∠ACF=180°-45°=135°，
∴△ACF∽△EDA，
∴

CF

AD

=

AC

DE

，
即

CF

a

=

2a

2 2 a

，
解得CF=2

2

a，
∴EF=CF+CE=2

2

a+

2

2

a=

5 2

2

a，
∴CF²+BE²=（2

2

a）²+（

3 2

2

a）²=

25

2

a²，
EF²=（

5 2

2

a）²=

25

2

a²，故④正確；
綜上所述，正確的是①②③④．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)，用AB的長度表示出所求結(jié)論中的各線段是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．