Question

已知A（，0），直線與x軸交于點(diǎn)F，與y軸交于點(diǎn)B，直線l∥AB且交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，連接AA′、A′D．直線l從AB出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向向上平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t．

（1）求點(diǎn)A′的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）求證：AB＝AF；

（3）過(guò)點(diǎn)C作直線AB的垂線交直線于點(diǎn)E，以點(diǎn)C為圓心CE為半徑作⊙C，求當(dāng)t為何值時(shí)，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切？

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1或.

【解析】

試題分析：（1）由l∥AB得出∠ODC=∠OAB，再由點(diǎn)A（ ，0），求出∠ODC=∠OAB=30°，由點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'，求出A'點(diǎn)的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）；（2）通過(guò)點(diǎn)F的坐標(biāo)，得出AF，在Rt△OAB中，OA=，OB=2，求出AB，得AB=AF；（3）先由直線l是點(diǎn)A和A'的對(duì)稱(chēng)軸得直線l是∠A'DA的平分線，即得點(diǎn)C到直線AD和A'D的距離相等，當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，也一定與A'D相切，通過(guò)直角三角形求解．

試題解析：（1）∵直線與y軸交于點(diǎn)B，∴B（0，）.

∵l∥AB，∴∠ODC=∠OAB.

∵A（，0），∴. ∴∠ODC=∠OAB=30°．

∵BC=t，∴OC=2t. ∴OD=. ∴AD=.

∵點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'，∴A'D=AD=，∠A'DA=60°. ∴△A'DA是等邊三角形.

過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥AD于H，∴AH=，A'H=.

∴A'點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）∵直線與x軸交于點(diǎn)F ，∴F.

又A（，0），∴AF=4.

在Rt△OAB中，OA=，OB=2，∴AB=4.

∴AB=AF.

（3）分兩種情況討論：

①如圖1，當(dāng)⊙C與AD（x軸）相切時(shí)，

∵直線l是點(diǎn)A和A'的對(duì)稱(chēng)軸，∴直線l是∠A'DA的平分線.

∴點(diǎn)C到直線AD和A'D的距離相等. ∴當(dāng)⊙C與AD（x軸）相切時(shí)，也一定與A'D相切．

∵∠OAB=30°且AB=AF，∴∠ABF=15°. ∴∠CBF=75°．

∵CE⊥AB，∠OBA=60°，∴∠BCE=30°. ∴∠CEB=75°.

∴CB=CE．

∵⊙C與AD相切，∴OC=CE=CB. ∴t=1．

②如圖2，當(dāng)⊙C與AA'相切于點(diǎn)M時(shí)，CE=CB=CM，∴CM=t.

∵CM=DMCD，在Rt△OCD中，∠ODC=30°，OC=t2，∴CD=2t4.

∴，解得t=．

綜上所述，當(dāng)t=1或時(shí)，⊙C與△AA′D三邊所在直線相切.

考點(diǎn)：1.直線平移問(wèn)題；2.一次函數(shù)綜合題；3.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4. 銳角三角函數(shù)定義；5.特殊角的三角函數(shù)值；6. 等邊三角形的判定和性質(zhì)；7.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；8.角平分線的性質(zhì)；9.分類(lèi)思想的應(yīng)用.