Question

觀察下列各式：
1³+2³=1+8=9，而（1+2）²=9，∴1³+2³=（1+2）²；
1³+2³+3³=6，而（1+2+3）²=36，∴1³+2³+3³=（1+2+3）²；
1³+2³+3³+4³=100，而（1+2+3+4）²=100，∴1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²；
∴1³+2³+3³+4³+5³=（

 

）²=

 

．
根據(jù)以上規(guī)律填空：
（1）1³+2³+3³+…+n³=（

 

）²=[

 

]²．
（2）猜想：11³+12³+13³+14³+15³=

 

．

Answer 1

分析：觀察題中的一系列等式發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和等于這幾個連續(xù)正整數(shù)和的平方，根據(jù)此規(guī)律填空，
（1）根據(jù)上述規(guī)律填空，然后把1+2+…+n變?yōu)?span id="z5zppdf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

n

2

個（n+1）相乘，即可化簡；
（2）對所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根據(jù)上述規(guī)律分別求出1到15的立方和與1到10的立方和，求出的兩數(shù)相減即可求出值．

解答：解：由題意可知：1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=225
（1）∵1+2+…+n=（1+n）+[2+（n-1）]+…+[

n

2

+（n-

n

2

+1）]=

n(n+1)

2

，
∴1³+2³+3³+…+n³=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]²；
（2）11³+12³+13³+14³+15³=1³+2³+3³+…+15³-（1³+2³+3³+…+10³）
=（1+2+…+15）²-（1+2+…+10）²
=120²-55²=11375．
故答案為：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n；

n(n+1)

2

；11375．

點(diǎn)評：此題要求學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、想象、歸納、推理概括等思維方式，探索問題，獲得解題途徑．考查了學(xué)生善于觀察，歸納總結(jié)的能力，以及運(yùn)用總結(jié)的結(jié)論解決問題的能力．