Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖，正方形ABCD中，AB＝6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合。三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

（1）求證：DP＝DQ；

（2）如圖，小明在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并予以證明；

（3）如圖，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PE，若AB:AP＝3:4，請(qǐng)幫小明算出△DEP的面積。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析；（2）猜測(cè)：PE=QE. 證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）證明△ADP≌△CDQ，即可得到結(jié)論：DP=DQ；（2）證明△DEP≌△DEQ，即可得到結(jié)論：PE=QE；（3）與（1）（2）同理，可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ。在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的長(zhǎng)度，從而可求得，而△DEP≌△DEQ，所以S_△DEP=S_△DEQ= .

試題解析：（1）∵∠ADC=∠PDQ=90°，∴∠ADP=∠CDQ.

在△ADP與△CDQ中，∵，∴△ADP≌△CDQ（ASA）. ∴DP=DQ.

（2）猜測(cè)：PE=QE. 證明如下：

由（1）可知，DP=DQ.

在△DEP與△DEQ中，∵，∴△DEP≌△DEQ（SAS）�！郟E=QE.

（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，∴AP=8，BP=2.

與（1）同理，可以證明△ADP≌△CDQ，∴CQ=AP=8.

與（2）同理，可以證明△DEP≌△DEQ，∴PE=QE.

設(shè)QE=PE=x，則.

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP²+BE²=PE²，即：，解得：，即QE= .

∴.

∵△DEP≌△DEQ，∴S_△DEP=S_△DEQ= .

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.