Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線經(jīng)過點N（2,－5），過點N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點M，MN=6.

1.求此拋物線的解析式

2.點P（x,y）為此拋物線上一動點，連接MP交此拋物線的對稱軸于點D，當(dāng)△DMN為直角三角形時，求點P的坐標；

3.設(shè)此拋物線與y軸交于點C，在此拋物線上是否存在點Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

 

1.∵過點M、N（2，－5），，

由題意，得M（，）.

∴ 

解得 

∴此拋物線的解析式為. ……………………………2分

2.設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點G，

若△DMN為直角三角形，則.

∴D₁（，），（，）. …………………………………2分

直線MD₁為，直線為.

將P（x，）分別代入直線MD₁，

的解析式，

得①，②.

解①得 ，（舍），

∴（1,0）.  …………………………………2分

解②得 ，（舍），

∴（3,－12）. ……………………………1分

3.設(shè)存在點Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若點Q在MN上方，過點Q作QH⊥MN，

交MN于點H，則.

即.                                                                                          

解得，（舍）.

∴（，3）. ……………………………2分

② 若點Q在MN下方，

同理可得（6，）. …………………2分

解析:（1）把M、N兩點坐標代入拋物線的解析式中計算出a、b的值即可；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點G，把P點坐標代入到直線MD方程中，從而解出P點的坐標；

（3）先設(shè)存在點Q（x，），分二種情況進行討論，Q在MN上方或下方，利用直角三角形的性質(zhì)進行求解。