Question

28、小明在研究正方形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)有這樣一道題：“如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE=∠EAD．你能夠得出什么樣的正確的結(jié)論？”
（1）小明經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：EF⊥AE．請(qǐng)你對(duì)小明所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明；
（2）小明之后又繼續(xù)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究，將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖②、圖③、圖④），其它條件均不變，認(rèn)為仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的觀點(diǎn)嗎？若你同意小明的觀點(diǎn)，請(qǐng)取圖③為例加以證明；若你不同意小明的觀點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點(diǎn)就可以證得．
（2）同（1），延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M，要證明EF⊥AE，只要證明△AFM是等腰三角形，再證明E是AM的中點(diǎn)就可以證得．

解答：證明：（1）如圖①，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M．
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．
（2）EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如圖③，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE=∠EAD，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE=EM，∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：三線合一定理，把證明垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明等腰三角形底邊上的中線的問(wèn)題．