已知AB是⊙O的直徑,AB=4,點C在線段AB的延長線上運動,點D在⊙O上運動(不與點B重合),連接CD,且CD=OA.
(1)當OC=時(如圖),求證:CD是⊙O的切線;
(2)當OC>時,CD所在直線于⊙O相交,設(shè)另一交點為E,連接AE.
①當D為CE中點時,求△ACE的周長;
②連接OD,是否存在四邊形AODE為梯形?若存在,請說明梯形個數(shù)并求此時AE•ED的值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理,判定△OCD為直角三角形,如答圖①所示;
(2)①如答圖②所示,關(guān)鍵是判定△EOC是含30度角的直角三角形,從而解直角三角形求出△ACE的周長;
②符合題意的梯形有2個,答圖③展示了其中一種情形.在求AE•ED值的時候,巧妙地利用了相似三角形,簡單得出了結(jié)論,避免了復(fù)雜的運算.
解答:(1)證明:連接OD,如答圖①所示.
由題意可知,CD=OD=OA=AB=2,OC=,
∴OD2+CD2=OC2
由勾股定理的逆定理可知,△OCD為直角三角形,則OD⊥CD,
又∵點D在⊙O上,
∴CD是⊙O的切線.

(2)解:①如答圖②所示,連接OE,OD,則有CD=DE=OD=OE,
∴△ODE為等邊三角形,∠1=∠2=∠3=60°;
∵OD=CD,∴∠4=∠5,
∵∠3=∠4+∠5,∴∠4=∠5=30°,
∴∠EOC=∠2+∠4=90°,
因此△EOC是含30度角的直角三角形,△AOE是等腰直角三角形.
在Rt△EOC中,CE=2OA=4,OC=4cos30°=
在等腰直角三角形AOE中,AE=OA=
∴△ACE的周長為:AE+CE+AC=AE+CE+(OA+OC)=+4+(2+)=6++
②存在,這樣的梯形有2個.
答圖③是D點位于AB上方的情形,同理在AB下方還有一個梯形,它們關(guān)于直線AB成軸對稱.
∵OA=OE,∴∠1=∠2,
∵CD=OA=OD,∴∠4=∠5,
∵四邊形AODE為梯形,∴OD∥AE,∴∠4=∠1,∠3=∠2,
∴∠3=∠5=∠1,
在△ODE與△COE中,

∴△ODE∽△COE,
則有,∴CE•DE=OE2=22=4.
∵∠1=∠5,∴AE=CE,
∴AE•DE=CE•DE=4.
綜上所述,存在四邊形AODE為梯形,這樣的梯形有2個,此時AE•DE=4.
點評:本題是幾何綜合題,考查了圓、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、梯形等幾何圖形的性質(zhì),涉及切線的判定、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等多個知識點,難度較大.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,∠CAB=30°,過點C的⊙O的切線交AB延長線于D,若OD=4
3
,那么弦AC長等于
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,過點O作弦BC的平行線,交過點A的切線AP于點P,連接AC.
(1)求證:△ABC∽△POA;
(2)若OB=2,OP=
72
,求BC的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,直線CD與AB的延長線交于點D,∠COB=2∠DCB.精英家教網(wǎng)
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)點E是
AB
的中點,CE交AB于點F,若AB=4,求EF•EC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,AD切⊙O于點A,
EC
=
CB
.給出下列結(jié)論:
①BA⊥DA;②OC∥AE;③OD⊥AC;④∠EAC=
1
4
∠EOB.
其中正確的結(jié)論有
①②④
①②④
.(把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知AB是⊙O的直徑,弧AC的度數(shù)是30°.如果⊙O的直徑為4,那么AC2等于( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案