Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)E作射線EF交AC于點(diǎn)F，使∠AEF=∠B．
（1）判斷∠BAE與∠CEF的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）請(qǐng)你探索：當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∠BAE=∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE=∠AEC，∠AEF=∠B，
∴∠BAE=∠FEC；

（2）如圖1，當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，
∠B=∠AEF=∠C，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠C+∠CEF=90°，
∴∠BAE+∠AEF=90°，
即∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系是互余；
如圖2，當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，
∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1，
∠B=∠AEF=∠C，
∴∠BAE=∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF=90°，
∴2∠AEF+∠1=90°，
即2∠AEF與∠BAE的數(shù)量關(guān)系是互余．
分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠FEC，再由條件∠AEF=∠B可得∠BAE=∠FEC；
（2）分別根據(jù)當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，以及當(dāng)∠EAF=90°時(shí)利用外角的性質(zhì)得出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用．