Question

如圖，點O是四邊形BCED外接圓的圓心，點O在BC上，點A在CB的延長線上，且∠ADB=∠DEB，EF⊥BC于點F，交⊙O于點M，EM=．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若弧BM上有一動點P，且DE=，sin∠CPM=，求tan∠DBE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證OD⊥AD即可；可根據(jù)圓周角定理、直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)進行證明．
（2）已知了∠CPM的正弦值，也就得到∠CEF的正弦值，進而可通過解直角三角形求得CF的長，進而可在Rt△BEC中，利用射影定理求得BF的長，即可得到⊙O的直徑；過E作⊙O的直徑EN，連接DN，根據(jù)圓周角定理，即可將∠DBE轉化到Rt△DNE中，先利用勾股定理求得DN的長，然后再求出∠DNE（即∠DBE）的正切值即可．
解答：（1）證明：連接OD；
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即∠DBO+∠DCB=90°；
又∵∠ADB=∠BED=∠DCB，且∠OBD=∠ODB，
∴∠ADB+∠ODB=∠DCB+∠DBO=90°，
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半徑，
故AD是⊙O切線．

（2）解：由圓周角定理知：∠CPM=∠CEM，即sin∠CEF=；
設CF=2x，則CE=3x，由勾股定理得：EF=x；
而EF=EM=，即x=1，CF=2，CE=3；
在Rt△BEC中，EF⊥BC，由射影定理得：
BF=EF²÷CF=，則BC=CF+BF=；
過E作直徑EN，連接DN，則EN=BC=；
在Rt△DNE中，DE=，EN=，由勾股定理得：DN=；
∴tan∠DNE=；
∴tan∠DBE=tan∠DNE=．
點評：本題考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理以及解直角三角形等相關知識，難度適中．