Question

如圖，以Rt△ABO的直角頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=4，OB=3，一動點P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個
單位長度的速度向A點勻速運動，到達(dá)A點后立即以原速沿AO返回；點Q從A點出發(fā)
沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動．當(dāng)Q到達(dá)B時，P、Q兩點同時停止
運動,設(shè)P、Q運動的時間為t秒(t＞0)．

(1) 試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2) 在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①．
求出此時△APQ的面積．
(3) 在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰梯
形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(4) 伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB－BO－OP于點F． 當(dāng)DF經(jīng)過原點O時，請直接寫出t的值．

Answer 1

略

解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3
∴AB＝
①P由O向A運動時，OP＝AQ＝t，AP＝4－t
過Q作QH⊥AP于H點，由QH//BO得

∴
即     (0<t≤4)
②當(dāng)4<t≤5時，AP＝t－4  AQ=t
sin∠BAO=
OH=
∴
=··············(4分)
(2)由題意知，此時△APQ≌△DPQ
∠AQP＝900  ∴cosA=
當(dāng)0<t≤4  ∴   即
當(dāng)4<t≤5時，   t=－16(舍去)
∴···············(6分)
(3)存在，有以下兩種情況
①若PE//BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE
過E、P分分別作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N
則有BM=QN,由PE//BQ得
∴
又∵AP=4－t, ∴AN=
∴由BM=QN,得
∴　　　∴···································(8分)
②若PQ//BE，則等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P點
由題意知
∵OP+AP="OA " ∴
∴t··············(10分)
由①②得E點坐標(biāo)為
(4)①當(dāng)P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=t
可得∠QOA=∠QAO  ∴∠QOB=∠QBO
∴OQ="BQ=t       " ∴BQ=AQ=AE
∴······················(11分)
②當(dāng)P由A向O運動時，OQ=OP=8－t
BQ=5－t, 
在Rt△OGQ中，OQ2 =" RG2" + OG2
即(8－t)2 =
∴t = 5·························(12分)