【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】如圖 1,△ABC 為等邊三角形,點(diǎn) D AB 邊上的一點(diǎn),∠DCE=30°,將線段 CD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段 CF,連接 AF、EF. 請(qǐng)直接 寫出下列結(jié)果:

① ∠EAF的度數(shù)為__________;

DEEF之間的數(shù)量關(guān)系為__________;

【類比探究】如圖 2,△ABC 為等腰直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn) D AB 邊上的一點(diǎn)∠DCE=45°,將線段 CD 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到線段 CF,連接 AF、EF.

①則∠EAF的度數(shù)為__________;

② 線段 AE,ED,DB 之間有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由;

【實(shí)際應(yīng)用】如圖 3,△ABC 是一個(gè)三角形的余料.小張同學(xué)量得∠ACB=120°,AC=BC, 他在邊 BC 上取了 D、E 兩點(diǎn),并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°,這樣 CD、CE 將△

ABC 分成三個(gè)小三角形,請(qǐng)求△BCD、△DCE、△ACE 這三個(gè)三角形的面積之比.

【答案】 120° DE=EF 90°

【解析】試題分析:(1①由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,BAC=B=60°,求出∠ACF=BCD,證明△ACF≌△BCD得出∠CAF=B=60°,求出∠EAF=BAC+∠CAF=120°;

②證出∠DCE=FCE,SAS證明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;

2①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC,BAC=B=45°,證出∠ACF=BCD,SAS證明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=B=45°,AF=DB求出∠EAF=BAC+∠CAF=90°;

②證出∠DCE=FCE,SAS證明△DCE≌△FCE得出DE=EF;RtAEF,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出結(jié)論.

3把△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF,則可得△ACF≌△BCD,FCE≌△DEC,得到AF=BDEF=ED,△AEF是含30°角的直角三角形,SBCDSDCESACE=BDEDAE= AFEFAE,即可得到答案.

試題解析:(1①∵△ABC是等邊三角形,AC=BC,BAC=B=60°.∵∠DCF=60°,∴∠ACF=BCD.在ACF和△BCD, ∴△ACF≌△BCDSAS),∴∠CAF=B=60°,∴∠EAF=BAC+∠CAF=120°;

DE=EF理由如下

∵∠DCF=60°,DCE=30°,∴∠FCE=60°﹣30°=30°,∴∠DCE=FCE.在DCE和△FCE, ,∴△DCE≌△FCESAS),DE=EF;

2①∵△ABC是等腰直角三角形,ACB=90°,AC=BCBAC=B=45°.∵∠DCF=90°,∴∠ACF=BCD.在ACF和△BCD, ∴△ACF≌△BCDSAS),∴∠CAF=B=45°,AF=DB,∴∠EAF=BAC+∠CAF=90°;

AE2+DB2=DE2,理由如下

∵∠DCF=90°,DCE=45°,∴∠FCE=90°﹣45°=45°,∴∠DCE=FCE.在DCE和△FCE, ,∴△DCE≌△FCESAS),DE=EF.在RtAEFAE2+AF2=EF2.又∵AF=DB,AE2+DB2=DE2

3【實(shí)際應(yīng)用】把△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF,則△ACF≌△BCD.∵∠ACB=120°,AC=BC ,∴∠B=C=30°,∴∠CDE=B+BCD=30°+15°=45°,∴∠CDB=180°-45°=135°.ACF≌△BCD,∴AE=DBFC=DC,∠FCA=∠BCD=15°,∠FAC=∠B=30°,ACF=BDC=135°,∴∠FCE=ECD=60°.FC=DC,EC=EC∴△FCE≌△DEC,EF=ED,CFE=CDE=45°,∴∠AFE=135°-45°=90°.∵∠FAE=30°+30°=60°,∴∠AEF=30°,AFEFAE=1 2,∴SBCDSDCESACE=BDEDAE= AFEFAE=1 2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,某校初一(2)班組織學(xué)生從A地到B地步行野營,勻速前進(jìn),該班師生共56人,每8人排成一排,相鄰兩排之間間隔1米,途中經(jīng)過一座橋CD,隊(duì)伍從開始上橋到剛好完全離開橋共用了150秒,當(dāng)隊(duì)尾剛好走到橋的一端D處時(shí),排在隊(duì)尾的游班長發(fā)現(xiàn)小蔣還在橋的另一端C處拍照,于是以隊(duì)伍1.5倍的速度返回去找小萍,同時(shí)隊(duì)伍仍按原速度繼續(xù)前行,30秒后,小蔣發(fā)現(xiàn)游班長返回來找他,便立刻以2.1米/秒的速度向游班長方向行進(jìn),小蔣行進(jìn)40秒后與游班長相遇,相遇后兩人以隊(duì)伍2倍的速度前行追趕隊(duì)伍.

(1)初一(2)班的隊(duì)伍長度為   米;

(2)求班級(jí)隊(duì)伍行進(jìn)的速度(列一元一次方程解決問題);

(3)請(qǐng)問:游班長從D處返回趙小萍開始到他們兩人追上隊(duì)首的劉老師一共用了多少時(shí)間?

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1)求證:AB 是⊙O 的切線;

2)如果 CF =2CP =3,求⊙O 的直徑 EC

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【題目】如圖,在ABCD 中,∠ADB=90°,點(diǎn) E AB 邊的中點(diǎn),點(diǎn) F CD 邊的中點(diǎn).

(1)求證:四邊形 DEBF 是菱形;

(2)當(dāng)∠A 等于多少度時(shí),四邊形 DEBF 是正方形?并說明你的理由.

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1)求∠CON的度數(shù);

2)如圖2是將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的情況.在旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)?shù)?/span>t秒時(shí),三條射線OAOC、OM構(gòu)成相等的角,求此時(shí)t的值;

3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí),請(qǐng)?zhí)骄俊?/span>AOM與∠CON的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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【題目】已知反比例函數(shù)(k為常數(shù),k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3).

(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式;

(2)判斷點(diǎn)B(1,6),C(3,2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上,并說明理由;

(3)當(dāng)3<x<1時(shí),求y的取值范圍.

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【題目】老師在黑板上出了一道解方程的題,小明馬上舉手,要求到黑板上做,他是這樣做的:

……………… …①

…………………… …②

…………………… …③

………………………………… ④

………………………………… ⑤

老師說:小明解一元一次方程的一般步驟都知道卻沒有掌握好,因此解題時(shí)有一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤,請(qǐng)你指出他錯(cuò)在 (填編號(hào));

然后,你自己細(xì)心地解下面的方程:

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(1)求本次被抽查的學(xué)生共有多少名?

(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“”所在的扇形圓心角的度數(shù);

(4)估計(jì)全!”等級(jí)的學(xué)生有多少名?

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【題目】如圖,△ABC中,D、E是BC邊上的點(diǎn),BD:DE:EC=3:2:1,M在AC邊上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,則BH:HG:GM等于( 。

A. 3:2:1 B. 5:3:1 C. 25:12:5 D. 51:24:10

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