Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．

（1）當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)c=10時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；（2）二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10；（3）二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．

【解析】試題分析：（1）把b=2，c=﹣3代入函數(shù)解析式，通過變形為頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)當(dāng)c=10時(shí)，若在函數(shù)值y=l的情況下，只有一個自變量x的值與其對應(yīng)，得到x2+bx+5=1有兩個相等是實(shí)數(shù)根，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，寫出解析式，分三種情況進(jìn)行討論即可．

試題解析：（1）當(dāng)b=2，c=﹣3時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）；

（2）當(dāng)c=10時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+10，

由題意得，x2+bx+10=1有兩個相等是實(shí)數(shù)根，

∴△=b2﹣36=0，

解得b1=6，b2=﹣6，

∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10；

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y═x2+bx+b2，

圖象開口向上，對稱軸為直線x=﹣ ，

①當(dāng)﹣＜b，即b＞0時(shí)，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=b時(shí)，y=b2+bb+b2=3b2為最小值，

∴3b2=21，解得b1=﹣ （舍去），b2=；

②當(dāng)b≤﹣≤b+3時(shí)，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣，y=b2為最小值，

∴b2=21，解得b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；

③當(dāng)﹣＞b+3，即b＜﹣2，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，

故當(dāng)x=b+3時(shí)，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9為最小值，

∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4；

∴b=時(shí)，解析式為：y=x2+x+7

b=﹣4時(shí)，解析式為：y=x2﹣4x+16．

綜上可得，此時(shí)二次函數(shù)的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．