Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE= AB，連接DE．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．

（1）問題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)θ=0°時， =；
②當(dāng)θ=180°時， = ．
（2）拓展探究
試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時， 的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）問題解決
①在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值為；
②當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點共線時，線段CD的長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）

當(dāng)0°≤θ＜360°時， 的大小沒有變化，

理由：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵ ，

∴△ADC∽△AEB，

∴ = = ；

（3）2 +2；+1或 ﹣1
【解析】解：（1）①當(dāng)θ=0°時，
在Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2 ，
∵AD=DE= AB= ，
∴∠AED=∠A=45°，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥CB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以答案是： ，
②當(dāng)θ=180°時，如圖1，

∴DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ = = ，
所以答案是： ；（3）①當(dāng)點E在BD的延長線時，BE最大，
在Rt△ADE中，AE= AD=2，
∴BE最大=AB+AE=2 +2；
②如圖2，

當(dāng)點E在BD上時，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，AB=2 ，AD= ，根據(jù)勾股定理得，DB= = ，
∴BE=BD+DE= + ，
由（2）知， ，
∴CD= = = +1，
如圖3，

當(dāng)點D在BE的延長線上時，
在Rt△ADB中，AD= ，AB=2 ，根據(jù)勾股定理得，BD= = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，
由（2）知， ，
∴CD= = = ﹣1．
所以答案是： +1或 ﹣1．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行線分線段成比例的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例才能正確解答此題．