Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形PABC的邊長(zhǎng)為1，將其沿x軸的正方向連續(xù)滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將正方形PABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到第二個(gè)正方形，再以頂點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心將第二個(gè)正方形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到第三個(gè)正方形，依此方法繼續(xù)滾動(dòng)下去得到第四個(gè)正方形，…，第n個(gè)正方形．設(shè)滾動(dòng)過(guò)程中的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．

（1）畫出第三個(gè)和第四個(gè)正方形的位置，并直接寫出第三個(gè)正方形中的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）畫出點(diǎn)P（x，y）運(yùn)動(dòng)的曲線（0≤x≤4），并直接寫出該曲線與x軸所圍成區(qū)域的面積．

Answer 1

分析：（1）有意義直接畫圖，再有畫的圖形可直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）有點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡可知為弧線，只要找到所在的圓心和半徑即可，利用扇形的面積公式即可求出該曲線與x軸所圍成區(qū)域的面積．

解答：解：（1）第三個(gè)和第四個(gè)正方形的位置如圖所示：

第三個(gè)正方形中的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，1）；

（2）點(diǎn)P（x，y）運(yùn)動(dòng)的曲線（0≤x≤4）如圖所示：

由圖形可知它與x軸所圍成區(qū)域的面積=

π

4

+

90π× ( 2 ) 2

360

+1+

π

4

=π+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后圖形全等和扇形的面積公式：

nπr 2

360

，題目難度不大，不過(guò)很新穎．