鄰邊不相等的矩形紙片,剪去一個(gè)正方形,余下一個(gè)四邊形,稱為第一次操作;在余下的四邊形中減去一個(gè)正方形,又余下一個(gè)四邊形,稱為第二次操作;…,以此類推,若第n次操作后余下的四邊形是正方形,則稱原矩形是n階矩形.如圖1,矩形ABCD中,若AB=1,AD=2,則矩形ABCD是1階矩形.
探究:(1)兩邊分別是2和3的矩形是
2
2
階矩形;
(2)小聰為了剪去一個(gè)正方形,進(jìn)行如下的操作:如圖2,把矩形ABCD沿著BE折疊(點(diǎn)E在AD上),使點(diǎn)A落在BC的點(diǎn)F處,得到四邊形ABFE.請(qǐng)證明四邊形ABFE是正方形.
(3)操作、計(jì)算:
①已知矩形的兩邊分別是2,a(a>2),而且它是3階矩形,請(qǐng)畫出此矩形及裁剪線的示意圖,并在示意圖下方直接寫出a的值;
②已知矩形的兩鄰邊長為a,b,(a>b),且滿足a=5b+m,b=4m.請(qǐng)直接寫出矩形是幾階矩形.
分析:(1)通過操作畫圖可以得出第一次應(yīng)該減去是一個(gè)邊長為2的正方形,就剩下一個(gè)長為2寬為1的矩形,再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長為1的正方形則余下的就是一個(gè)邊長為1正方形,故得出結(jié)論2階矩形;
(2)由折紙可以得出AB=BF,AE=FE,從而得出△AEB≌△FEB,就可以得出AE=FE,∠BFE=∠A=90°,就有四邊形ABFE是矩形,就有矩形ABFE為正方形;
(3)①由n階矩形的意義通過畫圖就可以求出a的值;
②先由條件可以表示出a=21m,然后通過操作畫出圖形就可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,得,第一次操作應(yīng)該減去一個(gè)邊長為2的正方形,
∴就剩下一個(gè)長為2寬為1的矩形,再進(jìn)行第二次操作減去一個(gè)邊長為1的正方形則余下的就是一個(gè)邊長為1正方形.
∴共操作2次.
∴這個(gè)矩形是2階矩形.
故答案為:2;

(2)∵△AEB與△FEB關(guān)于直線BE成軸對(duì)稱,
∴△AEB≌△FEB,
∴AE=FE,∠BFE=∠A.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABF=90°,
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°,
∴四邊形ABFE為矩形.
∵AE=FE,
∴矩形ABFE為正方形;

(3)①由題意,得
如圖1,

∴a的值=8,

∴a的值=5.
∴a的值為8或5;
②由題意,得
∵a=5b+m,b=4m,
∴a=21m,
如圖

∴是8階矩形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的運(yùn)用,軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,分類討論思想在幾何題目中的運(yùn)用,解答時(shí)根據(jù)題意正確畫出圖形是關(guān)鍵.
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