Question

矩形的周長是16，兩對(duì)角線夾角為60°，則矩形較長的對(duì)角線的長度是

 

．

Answer 1

分析：由矩形的性質(zhì)可知：矩形的對(duì)角線相等，所以只要求出其中一條對(duì)角線即可，如下圖所示：四邊形ABCD是平行四邊形且∠AOD=60°，所以O(shè)A=OD=OB=OC=AD，即：∠DAO=60°，在Rt△ADC中，DC=tan60°×AD=

3

AD，又因?yàn)榫匦蔚闹荛L是16，即：AD+DC=8，得出AD=4（

3

-1），AC=

AD

cos∠DAO

=

AD

cos60°

，求出AC即可．

解答：解：如下圖所示：∠AOD=60°，
∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OD=OB=OC（矩形的對(duì)角線相等且互相平分）
又∵∠AOD=60°
∴OA=OD=AD，∠DAO=60°
在Rt△ADC中，tan∠DAO=

DC

AD

=tan60°=

3

，
即：DC=

3

AD，
又∵AB+AD+DC+BC=16，即：AD+DC=

1

2

×16=8=（

3

+1）AD
∴AD=

8

3 +1

=4（

3

-1），
∴AC=

AD

cos∠AOD

=4（

3

-1）×

1

cos60°

=8

3

-8，
所以，矩形較長的對(duì)角線的長度是：8

3

-8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)，矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以本題只要求出其中一條對(duì)角線即可．