(2007•陜西)如圖,⊙O的半徑均為R.
(1)請在圖①中畫出弦AB,CD,使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形;請在圖②中畫出弦AB,CD,使圖②仍為中心對稱圖形;
(2)如圖③,在⊙O中,AB=CD=m(0<m<2R),且AB與CD交于點E,夾角為銳角α.求四邊形ACBD的面積(用含m,α的式子表示);
(3)若線段AB,CD是⊙O的兩條弦,且AB=CD=R,你認(rèn)為在以點A,B,C,D為頂點的四邊形中,是否存在面積最大的四邊形?請利用圖④說明理由.

【答案】分析:(1)使圖①為軸對稱圖形而不是中心對稱圖形;可讓弦AB=CD且AB與CD不平行(相交時交點不為圓心).使圖②仍為中心對稱圖形;可讓AB=CD且AB∥CD,也可讓AB,CD作為兩條圓內(nèi)不重合的直徑.
(2)可以以CD或AB為底來求兩三角形的面積和,先作高,然后用AE,BE(CE,DE也可以)和sinα表示出這兩個三角形的高,然后根據(jù)三角形的面積公式可得出CD×(AE+BE)•sinα,AE+BE正好是AB的長,因此兩三角形的面積和就能求出來了.
(3)要分兩種情況進(jìn)行討論:
當(dāng)兩弦相交時,情況與(2)相同,可用(2)的結(jié)果來得出四邊形的面積(此時四邊形的面積正好是兩個三角形的面積和).
當(dāng)兩弦不相交時,我們可連接圓心和四邊形的四個頂點,將四邊形分成4個三角形來求解,由于AB=CD=R,那么我們可得出三角形OAB和OCD應(yīng)該是個等腰直角三角形,那么他們的面積和就應(yīng)該是R2,下面再求出三角形AOD和BOC的面積和,我們由于∠AOD+∠BOC=180°,我們可根據(jù)這個特殊條件來構(gòu)建全等三角形求解.延長BO交圓于E,那么三角形AOD就應(yīng)該和三角形CEO全等,那么求出三角形BCE的面積就求出了三角形AOD和BOC的面積和,那么要想使四邊形的面積最大,三角形BEC中高就必須最大,也就是半徑的長,此時三角形BEC的面積就是R2,三角形BEC是個等腰直角三角形,那么四邊形ABCD就是個正方形,因此四邊形ABCD的最大面積就是2R2.因此當(dāng)∠AOD=∠BOC=90°時,四邊形ABCD的面積就最大,最大為2R2
解答:解:(1)答案不唯一,如圖①、②

(2)過點A,B分別作CD的垂線,垂足分別為M,N,
∵S△ACD=CD•AM=CD•AE•sinα,S△BCD=CD•BN=CD•BE•sinα,
∴S四邊形ACBD=S△ACD+S△BCD=CD•AE•sinα+CD•BE•sinα
=CD•(AE+BE)sinα=CD•AB•sinα=m2•sinα.

(3)存在.分兩種情況說明如下:
①當(dāng)AB與CD相交時,由(2)及AB=CD=知S四邊形ACBD=AB•CD•sinα=R2sinα,
②當(dāng)AB與CD不相交時,如圖④.

∵AB=CD=,OC=OD=OA=OB=R,
∴∠AOB=∠COD=90°.
而S四邊形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC
延長BO交⊙O于點E,連接EC,
則∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠2.
∴△AOD≌△COE.
∴S△AOD=S△OCE
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
過點C作CH⊥BE,垂足為H,
則S△BCE=BE•CH=R•CH.
∴當(dāng)CH=R時,S△BCE取最大值R2
綜合①、②可知,當(dāng)∠1=∠2=90°.
即四邊形ABCD是邊長為的正方形時,S四邊形ABCD=R2+R2=2R2為最大值.
點評:本題主要考查了圓內(nèi)軸對稱和中心對稱圖形的區(qū)別以及解直角三角形,全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點.在求三角形的面積時,要根據(jù)已知的條件來選擇底邊,這樣可使解題更加簡便.
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