Question

如圖，已知Rt△ABC的面積為S，D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結(jié)BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連結(jié)BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則S_n=

 

（用含n、S的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=

1

3

BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答

解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

2

×

1

2

BC•CE₁=

1

2

×

1

2

BC×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

AC•BC=

1

4

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

3

×

1

3

×

1

2

×AC•BC=

1

9

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₂=

1

4

AC，S₃=

1

16

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC=

s

(n+1)2

．
故答案為：

s

(n+1)2

．

點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形的重心等知識，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個(gè)三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍．