Question

已知：如圖1，從以AB為直徑的圓上一點(diǎn)D引一切線，再?gòu)腁B上一點(diǎn)C引這條切線的垂線，垂足為E．
（1）如果DC⊥AB且DC交圓于點(diǎn)F，請(qǐng)證明：CE•AB=AC•CB+CD²；

（2）如果DC與AB不垂直如圖2，那（1）中結(jié)論是否還成立？請(qǐng)證明你的想法．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證明Rt△ODC∽R(shí)t△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得以證明．
（2）連接DO并延長(zhǎng)交⊙于點(diǎn)G，連接GF，證明Rt△GDF∽R(shí)t△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得以證明．
解答：證明：（1）連接OD，
∵DE是⊙O的切線且OD為半徑，
∴OD⊥DE．
∵CE⊥DE，
∴OD∥CE．
∴∠ODC=∠DCE．
故Rt△ODC∽R(shí)t△DCE．（1分）
∴OD：DC=DC：CE．
即CE•OD=DC²（2分）
∵AB=2OD，
∴CE•AB=2CD²．
∵DC⊥AB且AB為直徑，
∴DC²=AC•CB．
∴CE•AB=AC•CB+CD²．（4分）

（2）如果DC與AB不垂直，那（1）中結(jié)論依然成立．（5分）
理由如下：
如圖，連接DO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)G，連接GF．
∵GD為直徑且DE為圓的切線，
∴∠GFD=90°=∠GDE．
∵CE⊥DE，
∴GD∥CE．
∴∠GDC=∠DCE．
故Rt△GDF∽R(shí)t△DCE．（6分）
∴GD：CD=DF：CE．
故CE•GD=CD•DF．（7分）
∵GD=AB，DF=CD+CF，
∴CD•（CF+CD）=CD•CF+CD²
∵CD•CF=AC•CB，
∴CE•AB=AC•CB+CD²．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題要求的綜合能力較強(qiáng)，主要考查了切線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)．