(2013•郴州模擬)如圖,已知AB=10,C是線段AB上一動點(diǎn),分別以AC、BC為斜邊作直角△ACD、直角△BCE,且∠A=60°,∠B=30°,連接DE,M是DE的中點(diǎn).
(1)當(dāng)C運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時,△ACD、△BCE和△DCE有什么關(guān)系?
(2)當(dāng)C運(yùn)動到什么位置時,△ACD、△BCE和△DCE相似?
(3)當(dāng)C運(yùn)動到什么位置時,△DCE有最大面積,最大面積是多少?
(4)當(dāng)C在AB上運(yùn)動時,M點(diǎn)怎樣運(yùn)動,運(yùn)動的距離是多少?
分析:根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ACD和∠BCE,然后求出∠DCE=90°,(1)根據(jù)中點(diǎn)定義可得AC=BC,然后求出AD=CE,CD=BE,再利用“邊角邊”即可證明三個三角形全等;
(2)設(shè)AC=x,表示出CD、BC和CE,然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例,夾角相等,兩三角形相似分情況列式求解即可;
(3)根據(jù)直角三角形的面積公式列式整理,然后利用二次函數(shù)的最值問題解答;
(4)延長AD、BE相交于點(diǎn)F,求出∠AFB=90°并得到四邊形CDFE是矩形,連接CF,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)M是CF的中點(diǎn),從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是△ABF的中位線,再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得點(diǎn)M的運(yùn)動距離=
1
2
AB.
解答:解:∵△ACD、△BCE都是直角三角形,∠A=60°,∠B=30°,
∴∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°,
∠BCE=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴∠DCE=180°-30°-60°=90°,
(1)點(diǎn)C運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時,AC=BC=
1
2
AB=
1
2
×10=5,
∴AD=CE=
1
2
AC=
1
2
×5=2.5,CD=BE=
3
2
AC=
5
3
2
,
又∵∠ADC=∠DCE=∠BEC=90°,
∴△ACD≌△BCE≌△DCE;

(2)設(shè)AC=x,則CD=
3
2
x,
BC=AB-AC=10-x,
CE=
1
2
BC=
1
2
(10-x),
∵△ACD、△BCE和△DCE相似,
CD
CE
=
AD
CD
CD
CE
=
CD
AD
,
3
2
x
1
2
(10-x)
=
3
3
3
2
x
1
2
(10-x)
=
3

解得x=2.5或x=5;

(3)△DCE的面積=
1
2
CD•CE,
=
1
2
3
2
x•
1
2
(10-x),
=-
3
8
(x-5)2+
25
3
8
,
∴當(dāng)x=5,即點(diǎn)C運(yùn)動到AC=5時,△DCE有最大面積,最大面積是
25
3
8
;

(4)延長AD、BE相交于點(diǎn)F,
∵∠A=60°,∠B=30°,
∴∠AFB=180°-60°-30°=90°,
∴四邊形CDFE是矩形,
連接CF,∵點(diǎn)M是DE的中點(diǎn),
∴點(diǎn)M也是CF的中點(diǎn),
∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是△ABF的中位線,
點(diǎn)M運(yùn)動的距離=
1
2
AB=
1
2
×10=5.
點(diǎn)評:本題是相似形綜合題,主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),全等三角形的判定,相似三角形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值問題,三角形的中位線定理,(4)判斷出點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是三角形的中位線是解題的關(guān)鍵.
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10
1
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4
-(
1
2
-2-2cos60°+(2-π)0

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