Question

已知關(guān)于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：證明題

分析：（1）分類討論：當(dāng)m=0時(shí)，方程變形為一元一次方程，有一個(gè)解；當(dāng)m≠0時(shí)，先計(jì)算判別式的值得到△=（3m-1）²，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△≥0，則根據(jù)判別式的意義得到方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，然后綜合兩種情況得到不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）先解方程得到x₁=-

1

m

，x₂=-3，根據(jù)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)問(wèn)題得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

m

，0），（-3，0），再根據(jù)正數(shù)的整除性易得m=1，從而得到拋物線解析式．

解答：（1）證明：當(dāng)m=0時(shí)，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當(dāng)m≠0時(shí)，△=（3m+1）²-4m•3=（3m-1）²，
∵（3m-1）²≥0，即△≥0，
∴m≠0時(shí)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴不論m為任何實(shí)數(shù)，此方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得m≠0，
mx²+（3m+1）x+3=0．
（mx+1）（x+3）=0，
解得x₁=-

1

m

，x₂=-3，
則拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

m

，0），（-3，0），
而m為正整數(shù)，-

1

m

也為整數(shù)，所以m=1，
所以拋物線解析式為y=x²+4x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式（△=b²-4ac）：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．