Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．
（1）若∠BAC=30°，求證：CD平分OB．
（2）若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接0E，CE．求證：CE平分∠OCD．
（3）若⊙O的半徑為4，∠BAC=30°，則圓周上到直線AC距離為3的點(diǎn)有多少個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
而OC=OB，
∴△OBC為等邊三角形，
∵CD⊥OB，
∴CD平分OB；
（2）證明：∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，
而CD⊥AB，
∴OE∥CD
∴∠OEC=∠ECD，
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OCE=∠ECD，
即CE平分∠OCD；
（3）解：圓周上到直線AC距離為3的點(diǎn)有2個(gè)．利用如下：
作OF⊥AC于F，交⊙O于G，如圖，
∵OA=4，∠BAC=30°，
∴OF=OA=2，
∴GF=OG-OF=2，即在弧AC上到AC的最大距離為2cm，
∴在弧AC上沒有一個(gè)點(diǎn)到AC的距離為3cm，
而在弧AEC上到AC的最大距離為6cm，
∴在弧AEC上有兩個(gè)點(diǎn)到AC的距離為3cm．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，而∠BAC=30°，所以∠B=60°，于是可判斷△OBC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由CD⊥OB易得CD平分OB；
（2）由點(diǎn)E為的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得OE⊥AB，則OE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠OEC=∠ECD，而∠OEC=∠OCE，所以∠OCE=∠ECD；
（3）作OF⊥AC于F，交⊙O于G，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OF=OA=2，則GF=OG-OF=2，于是可得到在弧AC上沒有一個(gè)點(diǎn)到AC的距離為3cm，在弧AEC上有兩個(gè)點(diǎn)到AC的距離為3cm．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理及其推論、等邊三角形的判定與性質(zhì)；利用平行線的性質(zhì)解決角相等的問(wèn)題．