Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，有菱形OABC，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），對角線OB、AC相交于D點(diǎn)，雙曲線（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，交BC的延長線于E點(diǎn)，且OB•AC=160，有下列四個結(jié)論：
①雙曲線的解析式為（x＞0）；
②E點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8）；
③sin∠COA=；
④AC+OB=，其中正確的結(jié)論有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，對角線OB、AC相交于D點(diǎn)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出雙曲線（x＞0）的解析式，由反比例函數(shù)的解析式與直線BC的解析式聯(lián)立即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．
解答：解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵OB•AC=160，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的邊長為10，
∴CF===8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF===6，
∴C（6，8），
∵點(diǎn)D時線段AC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即（8，4），
∵雙曲線（x＞0）經(jīng)過D點(diǎn)，
∴4=，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=（x＞0），故①錯誤；
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
∴，解得，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8），故②正確；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA===，故③正確；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC==4，
∵OB•AC=160，
∴OB===8，
∴AC+OB=4+8=12，故④正確．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等相關(guān)知識，難度適中．