已知在平面直角坐標系中,四邊形OABC是矩形,點A、C的坐標分別為A(3,0)、C(0,4),點D的坐標為D(-5,0),點P是直線AC上的一動點,直線DP與y軸交于點M.問:
(1)當點P運動到何位置時,直線DP平分矩形OABC的面積,請簡要說明理由,并求出此時直線DP的函數(shù)解析式;
(2)當點P沿直線AC移動時,是否存在使△DOM與△ABC相似的點M,若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)當點P沿直線AC移動時,以點P為圓心、半徑長為R(R>0)畫圓,所得到的圓稱為動圓P.若設動圓P的直徑長為AC,過點D作動圓P的兩條切線,切點分別為點E、F.請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S,若存在,請求出S的值;若不存在,請說明理由.注:第(3)問請用備用圖解答.
【答案】分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)(經(jīng)過矩形中心的直線把矩形分成面積相等的兩個部分)可知,連接BO與AC交于點H,則當點P運動到點H時,直線DP平分矩形OABC的面積.先求出點P的坐標為P(,2),結(jié)合點D坐標利用待定系數(shù)法求直線DP的函數(shù)解析式為:y=x+
(2)根據(jù)題意可知存在點M使得△DOM與△ABC相似,設直線DP與y軸的正半軸交于點M(0,ym).可利用相似中的相似比分別列出關于點M的坐標有關的方程,求解即可.注意:共有3種情況,要考慮周全.
(3)過D作DP⊥AC于點P,以P為圓心,半徑長為畫圓,過點D分別作⊙P的切線DE、DF,點E、F是切點.除P點外在直線AC上任取一點P1,半徑長為畫圓,過點D分別作⊙P的切線DE1、DF1,點E1、F1是切點.在△DEP和△DFP中,△DPE≌△DPF.所以S四邊形DEPF=2S△DPE=DE.可知當DE取最小值時,S四邊形DEPF的值最。援擠E是D點與切點所連線段長的最小值.利用相似求得DE的長,再求得S四邊形DEPF=
解答:解:(1)連接BO與AC交于點H,則當點P運動到點H時,直線DP平分矩形OABC的面積.理由如下:
∵矩形是中心對稱圖形,且點H為矩形的對稱中心.
又據(jù)經(jīng)過中心對稱圖形對稱中心的任一直線平分此中心對稱圖形的面積,
因為直線DP過矩形OABC的對稱中心點H,所以直線DP平分矩形OABC的面積.(2分)
由已知可得此時點P的坐標為P(,2).
設直線DP的函數(shù)解析式為y=kx+b.
則有,解得k=,b=
所以,直線DP的函數(shù)解析式為:y=x+.(5分)

(2)存在點M使得△DOM與△ABC相似.
如圖,不妨設直線DP與y軸的正半軸交于點M(0,ym).
因為∠DOM=∠ABC,若△DOM與△ABC相似,則有
時,即,解得.所以點M1(0,)滿足條件.
時,即,解得.所以點M2(0,)滿足條件.
由對稱性知,點M3(0,-)也滿足條件.
綜上所述,滿足使△DOM與△ABC相似的點M有3個,
分別為M1(0,)、M2(0,)、M3(0,-).

(3)如圖,過D作DP⊥AC于點P,以P為圓心,半徑長為畫圓,
過點D分別作⊙P的切線DE、DF,點E、F是切點.除P點外在直線AC上任取一點P1,半徑長為畫圓,
過點D分別作⊙P的切線DE1、DF1,點E1、F1是切點.
在△DEP和△DFP中,∠PED=∠PFD,PF=PE,PD=PD,
∴Rt△DPE≌Rt△DPF.
∴S四邊形DEPF=2S△DPE=2××DE•PE=DE•PE=DE.
∴當DE取最小值時,S四邊形DEPF的值最。
∵DE2=DP2-PE2,DE12=DP12-P1E12
∴DE12-DE2=DP12-DP2
∵DP1>DP,∴DE12-DE2>0.
∴DE1>DE.由P1點的任意性知:DE是D點與切點所連線段長的最小值.(12分)
在△ADP與△AOC中,∠DPA=∠AOC,
∠DAP=∠CAO,∴△ADP∽△AOC.
,即
∴DP=

∴S四邊形DEPF=,即S=.(14分)
(注:本卷中所有題目,若由其它方法得出正確結(jié)論,請參照標準給分.)
點評:主要考查了一次函數(shù)和幾何圖形的綜合運用.解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
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(2)求這個函數(shù)的解析式;
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kx
的圖象與⊙O有四個交點時,求k的取值范圍;
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